谓词范畴是由集合配上一个子集 (作为 “满足谓词” 的表示) 作为对象的范畴, 它到集合范畴的遗忘函子存在一个简单的纤维范畴.

谓词范畴中借助集合论的各种操作 (如 Descartes 积, 无交并等) 即可定义各种 Boole 代数里的逻辑连词.

谓词范畴中还可以定义经典的谓词, 包括全称, 存在和相等, 前两者分别是依值积和依值和的特殊情况. 除此之外, 谓词范畴中还可以定义 “商”, 见二元谓词范畴. 如上四个定义和纤维范畴中的诱导函子都有伴随关系.

目录1定义诱导函子逻辑函子2性质伴随关系3相关概念1定义定义 1.1 (谓词范畴). 谓词范畴 Pred 由如下数据组成:

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对象: 为形如 (I,X) 的二元组, 其中 I,X 都是集合, 且 X⊆I.

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态射: 对于对象 (I,X),(J,Y), 若函数 f:I→J 满足∀i∈I,(i∈X⟹f(i)∈Y)那么 f 为一个 (I,X) 到 (J,Y) 的态射. 该关系可以被视为如下交换图中的虚线态射的唯一存在性: XYIJf

定义 1.2. 从谓词范畴到集合范畴间存在遗忘函子 U:Pred→Set, 将 (I,X) 映射到 I、态射不变.

定理 1.3. 在 1.2 中定义的函子是纤维范畴. 其中, 对于 I∈Set, 它的纤维记作 P(I), 是对象形如 (I,X) (其中 X 任意)、态射被 U 映射到恒同态射的 Pred 的子范畴.

证明. 对于映射 f:I→J, 可以诱导出函子 f∗: P(J)(J,Y)​→P(I)↦(I,{i∣f(i)∈Y})​验证函子律: 若 Y⊆Y′, 考虑 (I,X)=f∗(J,Y), (I,X′)=f∗(J,Y′), 根据 Pred 的定义, 显然有 X⊆X′.□

简洁起见, 当 (I,X) 中的 I 显然时, 我们直接用 X 代替之. 比如讨论 P(I) 中的对象时, 就只用子集 X 来代指二元组 (I,X).

诱导函子定义 1.4 (弱化). 集合范畴中的积 I×J 及其投影 π:I×J→I 诱导的态射 π∗ 叫做弱化函子: P(I)X​→P(I×J)↦{(i,j)∣i∈X,j∈J}​这个函子本质上就是把 i∈X 变成一个二元组 (i,j)∈X×J, 其中 j 是任意的.

定义 1.5 (收缩). 集合范畴中的对角映射 Δ:I→I×I 诱导的态射 Δ∗ 叫做收缩函子: P(I×I)X​→P(I)↦{i∈I∣(i,i)∈X}​这个函子接收 I 的两个子集构成的积 X, 给出这两个子集的交集.

逻辑函子定义 1.6 (全称与存在). 对于 (I×J,Y)∈Pred, 定义如下两函子: ∀,∃∀Y∃Y​:P(I×J)→P(I)={i∈I∣∀j∈J,(i,j)∈Y}={i∈I∣∃j∈J,(i,j)∈Y}​容易验证函子律.

定义 1.7 (相等). 对于 (I,X)∈Pred, 定义函子 E: P(I)X​→P(I×I)↦{(i,i)∣i∈X}​容易验证函子律.

2性质命题 2.1. 在 1.3 中的纤维 P(I) 正好是 I 的子集由包含关系作为态射构成的范畴.

伴随关系定理 2.2. 对于 1.6,1.4 中提到的函子, 有如下三连伴随关系: ∃⊣π∗⊣∀

证明. 考虑 Y⊆I×J, X⊆I.

对于 ∃⊣π∗, 展开伴随的定义可知这是在说如下两命题等价: ∃Y⊆X⟺Y⊆π∗(X)对于 π∗⊣∀, 对应的则是如下两命题等价: π∗(X)⊆Y⟺X⊆∀Y这两个等价关系都很容易验证.□

定理 2.3. 对于 1.7 和 1.5 中提到的函子, 有: E⊣Δ∗

证明. 考虑 X⊆I,Y⊆I×I, 展开伴随的定义可知这是在说如下两命题等价: E(X)⊆Y⟺X⊆Δ∗(Y)容易验证以上命题.□

3相关概念•

二元谓词范畴